Algebra - 10 of the best worksheets for KS3 maths - Teachwire - Free Printable

Let's go through each question step by step and solve them thoroughly. We'll work out the first 5 terms, specific terms (like the 20th, 76th, 129th), find when a term becomes negative, and determine the nth term formula for various sequences.

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1) Work out the first 5 terms of each sequence:

We substitute $ n = 1, 2, 3, 4, 5 $ into each expression.

#### a) $ n $
- $ 1, 2, 3, 4, 5 $

#### b) $ n + 3 $
- $ 1+3=4 $, $ 2+3=5 $, $ 3+3=6 $, $ 4+3=7 $, $ 5+3=8 $
- $ 4, 5, 6, 7, 8 $

#### c) $ n - 3 $
- $ 1-3=-2 $, $ 2-3=-1 $, $ 3-3=0 $, $ 4-3=1 $, $ 5-3=2 $
- $ -2, -1, 0, 1, 2 $

#### d) $ 3 - n $
- $ 3-1=2 $, $ 3-2=1 $, $ 3-3=0 $, $ 3-4=-1 $, $ 3-5=-2 $
- $ 2, 1, 0, -1, -2 $

#### e) $ 5 - n $
- $ 5-1=4 $, $ 5-2=3 $, $ 5-3=2 $, $ 5-4=1 $, $ 5-5=0 $
- $ 4, 3, 2, 1, 0 $

#### f) $ -5 - n $
- $ -5-1=-6 $, $ -5-2=-7 $, $ -5-3=-8 $, $ -5-4=-9 $, $ -5-5=-10 $
- $ -6, -7, -8, -9, -10 $

#### g) $ -5 + n $
- $ -5+1=-4 $, $ -5+2=-3 $, $ -5+3=-2 $, $ -5+4=-1 $, $ -5+5=0 $
- $ -4, -3, -2, -1, 0 $

#### h) $ -n + 5 $
- Same as $ 5 - n $ → $ 4, 3, 2, 1, 0 $

✔ Answer to Q1:
- a) 1, 2, 3, 4, 5
- b) 4, 5, 6, 7, 8
- c) -2, -1, 0, 1, 2
- d) 2, 1, 0, -1, -2
- e) 4, 3, 2, 1, 0
- f) -6, -7, -8, -9, -10
- g) -4, -3, -2, -1, 0
- h) 4, 3, 2, 1, 0

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2) Work out the 20th, 76th, and 129th term of each sequence above.

Use $ n = 20, 76, 129 $ in each formula.

#### a) $ n $
- $ 20, 76, 129 $

#### b) $ n + 3 $
- $ 20+3=23 $, $ 76+3=79 $, $ 129+3=132 $

#### c) $ n - 3 $
- $ 20-3=17 $, $ 76-3=73 $, $ 129-3=126 $

#### d) $ 3 - n $
- $ 3-20=-17 $, $ 3-76=-73 $, $ 3-129=-126 $

#### e) $ 5 - n $
- $ 5-20=-15 $, $ 5-76=-71 $, $ 5-129=-124 $

#### f) $ -5 - n $
- $ -5-20=-25 $, $ -5-76=-81 $, $ -5-129=-134 $

#### g) $ -5 + n $
- $ -5+20=15 $, $ -5+76=71 $, $ -5+129=124 $

#### h) $ -n + 5 $
- Same as $ 5 - n $ → $ -15, -71, -124 $

✔ Answer to Q2:
| Sequence | 20th | 76th | 129th |
|--------|------|------|-------|
| a) $ n $ | 20 | 76 | 129 |
| b) $ n+3 $ | 23 | 79 | 132 |
| c) $ n-3 $ | 17 | 73 | 126 |
| d) $ 3-n $ | -17 | -73 | -126 |
| e) $ 5-n $ | -15 | -71 | -124 |
| f) $ -5-n $ | -25 | -81 | -134 |
| g) $ -5+n $ | 15 | 71 | 124 |
| h) $ -n+5 $ | -15 | -71 | -124 |

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3) First 5 terms of these sequences:

#### a) $ 2n $
- $ 2(1)=2 $, $ 2(2)=4 $, $ 2(3)=6 $, $ 2(4)=8 $, $ 2(5)=10 $
- $ 2, 4, 6, 8, 10 $

#### b) $ 3n $
- $ 3, 6, 9, 12, 15 $

#### c) $ 4n $
- $ 4, 8, 12, 16, 20 $

#### d) $ -4n $
- $ -4, -8, -12, -16, -20 $

#### e) $ -40n $
- $ -40, -80, -120, -160, -200 $

#### f) $ -400n $
- $ -400, -800, -1200, -1600, -2000 $

#### g) $ 500n $
- $ 500, 1000, 1500, 2000, 2500 $

#### h) $ 5000n $
- $ 5000, 10000, 15000, 20000, 25000 $

✔ Q3 Answers:
- a) 2, 4, 6, 8, 10
- b) 3, 6, 9, 12, 15
- c) 4, 8, 12, 16, 20
- d) -4, -8, -12, -16, -20
- e) -40, -80, -120, -160, -200
- f) -400, -800, -1200, -1600, -2000
- g) 500, 1000, 1500, 2000, 2500
- h) 5000, 10000, 15000, 20000, 25000

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4) 20th, 76th, 129th term of each sequence in Q3

Use $ n = 20, 76, 129 $:

#### a) $ 2n $
- $ 40, 152, 258 $

#### b) $ 3n $
- $ 60, 228, 387 $

#### c) $ 4n $
- $ 80, 304, 516 $

#### d) $ -4n $
- $ -80, -304, -516 $

#### e) $ -40n $
- $ -800, -3040, -5160 $

#### f) $ -400n $
- $ -8000, -30400, -51600 $

#### g) $ 500n $
- $ 10000, 38000, 64500 $

#### h) $ 5000n $
- $ 100000, 380000, 645000 $

✔ Q4 Answers:
| Sequence | 20th | 76th | 129th |
|--------|------|------|-------|
| a) $ 2n $ | 40 | 152 | 258 |
| b) $ 3n $ | 60 | 228 | 387 |
| c) $ 4n $ | 80 | 304 | 516 |
| d) $ -4n $ | -80 | -304 | -516 |
| e) $ -40n $ | -800 | -3040 | -5160 |
| f) $ -400n $ | -8000 | -30400 | -51600 |
| g) $ 500n $ | 10000 | 38000 | 64500 |
| h) $ 5000n $ | 100000 | 380000 | 645000 |

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5) First 5 terms of:

#### a) $ 3n + 5 $
- $ 3(1)+5=8 $, $ 3(2)+5=11 $, $ 3(3)+5=14 $, $ 3(4)+5=17 $, $ 3(5)+5=20 $
- $ 8, 11, 14, 17, 20 $

#### b) $ 3n - 5 $
- $ 3-5=-2 $, $ 6-5=1 $, $ 9-5=4 $, $ 12-5=7 $, $ 15-5=10 $
- $ -2, 1, 4, 7, 10 $

#### c) $ 5n - 3 $
- $ 5-3=2 $, $ 10-3=7 $, $ 15-3=12 $, $ 20-3=17 $, $ 25-3=22 $
- $ 2, 7, 12, 17, 22 $

#### d) $ 3 - 5n $
- $ 3-5(1)=-2 $, $ 3-10=-7 $, $ 3-15=-12 $, $ 3-20=-17 $, $ 3-25=-22 $
- $ -2, -7, -12, -17, -22 $

#### e) $ 5 - 3n $
- $ 5-3=2 $, $ 5-6=-1 $, $ 5-9=-4 $, $ 5-12=-7 $, $ 5-15=-10 $
- $ 2, -1, -4, -7, -10 $

#### f) $ -3n - 5 $
- $ -3-5=-8 $, $ -6-5=-11 $, $ -9-5=-14 $, $ -12-5=-17 $, $ -15-5=-20 $
- $ -8, -11, -14, -17, -20 $

#### g) $ -5n - 3 $
- $ -5-3=-8 $, $ -10-3=-13 $, $ -15-3=-18 $, $ -20-3=-23 $, $ -25-3=-28 $
- $ -8, -13, -18, -23, -28 $

#### h) $ 5n + 3 $
- $ 5+3=8 $, $ 10+3=13 $, $ 15+3=18 $, $ 20+3=23 $, $ 25+3=28 $
- $ 8, 13, 18, 23, 28 $

#### i) $ 10n + 6 $
- $ 10+6=16 $, $ 20+6=26 $, $ 30+6=36 $, $ 40+6=46 $, $ 50+6=56 $
- $ 16, 26, 36, 46, 56 $

#### j) $ 6 + 10n $
- Same as $ 10n + 6 $ → $ 16, 26, 36, 46, 56 $

✔ Q5 Answers:
- a) 8, 11, 14, 17, 20
- b) -2, 1, 4, 7, 10
- c) 2, 7, 12, 17, 22
- d) -2, -7, -12, -17, -22
- e) 2, -1, -4, -7, -10
- f) -8, -11, -14, -17, -20
- g) -8, -13, -18, -23, -28
- h) 8, 13, 18, 23, 28
- i) 16, 26, 36, 46, 56
- j) 16, 26, 36, 46, 56

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6) 20th, 76th, 129th term of sequences in Q5

Use $ n = 20, 76, 129 $:

#### a) $ 3n + 5 $
- $ 3(20)+5=65 $, $ 3(76)+5=233 $, $ 3(129)+5=392 $

#### b) $ 3n - 5 $
- $ 60-5=55 $, $ 228-5=223 $, $ 387-5=382 $

#### c) $ 5n - 3 $
- $ 100-3=97 $, $ 380-3=377 $, $ 645-3=642 $

#### d) $ 3 - 5n $
- $ 3-100=-97 $, $ 3-380=-377 $, $ 3-645=-642 $

#### e) $ 5 - 3n $
- $ 5-60=-55 $, $ 5-228=-223 $, $ 5-387=-382 $

#### f) $ -3n - 5 $
- $ -60-5=-65 $, $ -228-5=-233 $, $ -387-5=-392 $

#### g) $ -5n - 3 $
- $ -100-3=-103 $, $ -380-3=-383 $, $ -645-3=-648 $

#### h) $ 5n + 3 $
- $ 100+3=103 $, $ 380+3=383 $, $ 645+3=648 $

#### i) $ 10n + 6 $
- $ 200+6=206 $, $ 760+6=766 $, $ 1290+6=1296 $

#### j) $ 6 + 10n $
- Same as i → $ 206, 766, 1296 $

✔ Q6 Answers:
| Sequence | 20th | 76th | 129th |
|--------|------|------|-------|
| a) $ 3n+5 $ | 65 | 233 | 392 |
| b) $ 3n-5 $ | 55 | 223 | 382 |
| c) $ 5n-3 $ | 97 | 377 | 642 |
| d) $ 3-5n $ | -97 | -377 | -642 |
| e) $ 5-3n $ | -55 | -223 | -382 |
| f) $ -3n-5 $ | -65 | -233 | -392 |
| g) $ -5n-3 $ | -103 | -383 | -648 |
| h) $ 5n+3 $ | 103 | 383 | 648 |
| i) $ 10n+6 $ | 206 | 766 | 1296 |
| j) $ 6+10n $ | 206 | 766 | 1296 |

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7) Position and value of the first negative term

Find smallest $ n $ such that term < 0.

#### a) $ 20 - 3n < 0 $
- $ 20 < 3n \Rightarrow n > 20/3 \approx 6.67 $
- So $ n = 7 $
- Value: $ 20 - 3(7) = 20 - 21 = -1 $
- Position: 7, Value: -1

#### b) $ 200 - 3n < 0 $
- $ 200 < 3n \Rightarrow n > 200/3 \approx 66.67 $
- $ n = 67 $
- Value: $ 200 - 201 = -1 $
- 67, -1

#### c) $ 200 - 4n < 0 $
- $ 200 < 4n \Rightarrow n > 50 $
- $ n = 51 $
- $ 200 - 204 = -4 $
- 51, -4

#### d) $ 400 - 4n < 0 $
- $ 400 < 4n \Rightarrow n > 100 $
- $ n = 101 $
- $ 400 - 404 = -4 $
- 101, -4

#### e) $ 400 - 8n < 0 $
- $ 400 < 8n \Rightarrow n > 50 $
- $ n = 51 $
- $ 400 - 408 = -8 $
- 51, -8

#### f) $ 399 - 8n < 0 $
- $ 399 < 8n \Rightarrow n > 399/8 = 49.875 $
- $ n = 50 $
- $ 399 - 400 = -1 $
- 50, -1

#### g) $ 401 - 8n < 0 $
- $ 401 < 8n \Rightarrow n > 50.125 $
- $ n = 51 $
- $ 401 - 408 = -7 $
- 51, -7

#### h) $ 401 - 16n < 0 $
- $ 401 < 16n \Rightarrow n > 401/16 ≈ 25.06 $
- $ n = 26 $
- $ 401 - 416 = -15 $
- 26, -15

✔ Q7 Answers:
| Sequence | Position | Value |
|--------|----------|-------|
| a) $ 20-3n $ | 7 | -1 |
| b) $ 200-3n $ | 67 | -1 |
| c) $ 200-4n $ | 51 | -4 |
| d) $ 400-4n $ | 101 | -4 |
| e) $ 400-8n $ | 51 | -8 |
| f) $ 399-8n $ | 50 | -1 |
| g) $ 401-8n $ | 51 | -7 |
| h) $ 401-16n $ | 26 | -15 |

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8) Find the nth term of these sequences:

We look for pattern: common difference → $ d $, then use $ a_n = a + (n-1)d $

#### a) $ 6, 7, 8, 9, 10, ... $
- $ d = 1 $, first term $ a = 6 $
- $ a_n = 6 + (n-1)(1) = n + 5 $
- ✔ $ \boxed{n + 5} $

#### b) $ 106, 107, 108, 109, 110, ... $
- $ d = 1 $, $ a = 106 $
- $ a_n = 106 + (n-1) = n + 105 $
- ✔ $ \boxed{n + 105} $

#### c) $ 53, 54, 55, 56, 57, ... $
- $ d = 1 $, $ a = 53 $
- $ a_n = 53 + (n-1) = n + 52 $
- ✔ $ \boxed{n + 52} $

#### d) $ -3, -4, -5, -6, -7, ... $
- $ d = -1 $, $ a = -3 $
- $ a_n = -3 + (n-1)(-1) = -3 -n + 1 = -n -2 $
- ✔ $ \boxed{-n - 2} $

#### e) $ -3, -2, -1, 0, 1, ... $
- $ d = 1 $, $ a = -3 $
- $ a_n = -3 + (n-1)(1) = n - 4 $
- ✔ $ \boxed{n - 4} $

#### f) $ 1, 0, -1, -2, -3, ... $
- $ d = -1 $, $ a = 1 $
- $ a_n = 1 + (n-1)(-1) = 1 - n + 1 = -n + 2 $
- ✔ $ \boxed{2 - n} $

#### g) $ -1, 0, 1, 2, 3, ... $
- $ d = 1 $, $ a = -1 $
- $ a_n = -1 + (n-1) = n - 2 $
- ✔ $ \boxed{n - 2} $

#### h) $ 999, 1000, 1001, 1002, 1003, ... $
- $ d = 1 $, $ a = 999 $
- $ a_n = 999 + (n-1) = n + 998 $
- ✔ $ \boxed{n + 998} $

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9) Find nth term:

#### a) $ 6, 12, 18, 24, 30, ... $
- $ d = 6 $, $ a = 6 $
- $ a_n = 6 + (n-1)(6) = 6n $
- ✔ $ \boxed{6n} $

#### b) $ 60, 120, 180, 240, 300, ... $
- $ d = 60 $, $ a = 60 $
- $ a_n = 60n $
- ✔ $ \boxed{60n} $

#### c) $ 66, 132, 198, 264, 330, ... $
- $ d = 66 $, $ a = 66 $
- $ a_n = 66n $
- ✔ $ \boxed{66n} $

#### d) $ -6, -12, -18, -24, -30, ... $
- $ d = -6 $, $ a = -6 $
- $ a_n = -6n $
- ✔ $ \boxed{-6n} $

#### e) $ -12, -24, -36, -48, -60, ... $
- $ d = -12 $, $ a = -12 $
- $ a_n = -12n $
- ✔ $ \boxed{-12n} $

#### f) $ -102, -204, -306, -408, ... $
- $ d = -102 $, $ a = -102 $
- $ a_n = -102n $
- ✔ $ \boxed{-102n} $

#### g) $ 102, 204, 306, 408, ... $
- $ d = 102 $, $ a = 102 $
- $ a_n = 102n $
- ✔ $ \boxed{102n} $

#### h) $ 51, 102, 153, 204, ... $
- $ d = 51 $, $ a = 51 $
- $ a_n = 51n $
- ✔ $ \boxed{51n} $

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10) Find nth term:

#### a) $ 6, 9, 12, 15, 18, ... $
- $ d = 3 $, $ a = 6 $
- $ a_n = 6 + (n-1)(3) = 3n + 3 $
- ✔ $ \boxed{3n + 3} $

#### b) $ 7, 10, 13, 16, 19, ... $
- $ d = 3 $, $ a = 7 $
- $ a_n = 7 + (n-1)(3) = 3n + 4 $
- ✔ $ \boxed{3n + 4} $

#### c) $ 87, 90, 93, 96, 99, ... $
- $ d = 3 $, $ a = 87 $
- $ a_n = 87 + (n-1)(3) = 3n + 84 $
- ✔ $ \boxed{3n + 84} $

#### d) $ -7, -10, -13, -16, -19, ... $
- $ d = -3 $, $ a = -7 $
- $ a_n = -7 + (n-1)(-3) = -7 -3n + 3 = -3n -4 $
- ✔ $ \boxed{-3n - 4} $

#### e) $ -7, -4, -1, 2, 5, ... $
- $ d = 3 $, $ a = -7 $
- $ a_n = -7 + (n-1)(3) = 3n - 10 $
- ✔ $ \boxed{3n - 10} $

#### f) $ 7, 4, 1, -2, -5, ... $
- $ d = -3 $, $ a = 7 $
- $ a_n = 7 + (n-1)(-3) = 7 -3n + 3 = -3n + 10 $
- ✔ $ \boxed{-3n + 10} $

#### g) $ 5, 2, -1, -4, -7, ... $
- $ d = -3 $, $ a = 5 $
- $ a_n = 5 + (n-1)(-3) = 5 -3n + 3 = -3n + 8 $
- ✔ $ \boxed{-3n + 8} $

#### h) $ 2, 7, 12, 17, 22, ... $
- $ d = 5 $, $ a = 2 $
- $ a_n = 2 + (n-1)(5) = 5n - 3 $
- ✔ $ \boxed{5n - 3} $

#### i) $ 3, 7, 11, 15, 19, ... $
- $ d = 4 $, $ a = 3 $
- $ a_n = 3 + (n-1)(4) = 4n - 1 $
- ✔ $ \boxed{4n - 1} $

#### j) $ -3, -7, -11, -15, -19, ... $
- $ d = -4 $, $ a = -3 $
- $ a_n = -3 + (n-1)(-4) = -3 -4n + 4 = -4n + 1 $
- ✔ $ \boxed{-4n + 1} $

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✔ Final Summary of Key Answers:

#### Q8:
- a) $ n + 5 $
- b) $ n + 105 $
- c) $ n + 52 $
- d) $ -n - 2 $
- e) $ n - 4 $
- f) $ 2 - n $
- g) $ n - 2 $
- h) $ n + 998 $

#### Q9:
- a) $ 6n $
- b) $ 60n $
- c) $ 66n $
- d) $ -6n $
- e) $ -12n $
- f) $ -102n $
- g) $ 102n $
- h) $ 51n $

#### Q10:
- a) $ 3n + 3 $
- b) $ 3n + 4 $
- c) $ 3n + 84 $
- d) $ -3n - 4 $
- e) $ 3n - 10 $
- f) $ -3n + 10 $
- g) $ -3n + 8 $
- h) $ 5n - 3 $
- i) $ 4n - 1 $
- j) $ -4n + 1 $

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